감마 분포 예제

감마 분포의 왜곡은 모양 매개변수 k에 따라 달라지며 2/k와 같습니다. {디스플레이 스타일 2/{sqrt {k}}} 실제 감마 및 근사 정규 분포([2:4] 범위)의 확률은 동일하지 않지만 충분히 가깝습니다. k 및 θ의 일관된 폐쇄형태 추정기는 일반화된 감마 분포의 가능성으로부터 유래되는 존재한다[12]. 감마 분포는 푸아송 분포와 감마 분포의 조합이 음수 이항 분포이기 때문에 다단계 푸아송 회귀 모델에서 오류를 모델링하는 데도 사용됩니다. 감마 분포는 베이지안 통계에서 이전에 컨쥬게이트로 널리 사용됩니다. 정규 분포의 정밀도(즉, 분산의 역)에 대한 컨쥬게이트 이전의 컨쥬게이트입니다. 또한 지수 분포에 대한 이전의 컨쥬게이트이기도 합니다. 대신 셰이프 매개변수가 알려져 있지만 평균을 알 수 없는 경우 평균의 이전이 다른 감마 분포에 의해 부여되면 K 분포가 생성됩니다. 매개 변수를 기반으로 쉽게 계산 할 수있는 수식을 가진 모드 및 평균과 달리 중앙값에는 쉬운 닫힌 양식 방정식이 없습니다. 이 분포의 중앙값은 감마 분포가 자연 매개변수 k-1 및 -1/θ(이에 상응하는 α-1 및 -β) 및 자연 통계 X 및 ln(X)을 가진 2파라미터 지수 패밀리가 되도록 값 θ로 정의됩니다.

α와 β를 사용한 파라미터화는 베이지안 통계에서 더 일반적이며, 여기서 감마 분포는 지수 분포의 λ 또는 푸아송과 같은 다양한 유형의 역척도(일명 속도) 파라미터에 대한 컨쥬게이트 사전 분포로 사용됩니다. 분포[3] – 또는 그 문제에 대 한, 감마 분포 자체의 β. (밀접하게 관련된 역 감마 분포는 정규 분포의 분산과 같은 축척 매개변수에 대한 컨쥬게이트로 사용됩니다.) 감마 분포의 충분한 통계 중 하나가 ln(x)이기 때문에 이는 충분한 통계의 모멘트 생성 함수에 대한 지수 패밀리 수식을 사용하여 파생될 수 있다. $alpha=1$의 경우 $$ begin{align*} Gamma(1) 및 int_0^infty e^{-x} dx &=1을 작성할 수 있습니다. end{align*} $$ 변수 $x = lambda y$의 변경을 사용하여 감마 분포로 작업할 때 종종 유용한 다음 방정식을 표시할 수 있습니다: $$ Gamma(알파) = lambda^{alpha} int_0^infty y^{{alpha-1} e^{-2 textrm{for } 알파,lambda > 0.$$ 또한, 부분별 통합을 사용하여 $$ 알파 +1) = 알파감마(알파), hspace{20pt} textrm{에 대한 alpha {에 대한 alpha $n = 0.$$ N! = n cdot (n-1)!$$ 감마 분포는 보험 청구 [20] 및 강우량의 크기를 모델링하는 데 사용되었습니다. [21] 이것은 총 보험 청구와 저수지에 축적된 강우량의 양이 감마 프로세스에 의해 모델링된다는 것을 의미합니다 – 지수 분포가 푸아송 공정을 생성하는 것과 비슷합니다. 감마 분포는 대기열 모델, 기후학 및 금융 서비스를 포함한 다양한 분야를 사용할 수 있습니다. 감마 분포에 의해 모델링될 수 있는 이벤트의 예로는 다음과 같습니다: 감마(kq, θq)로부터 의 감마(kp, θp)의 KL 발산은 최대 엔트로피 확률 분포(둘 다와 균일한 염기 측정에 대하여 및 1/x 염기 측정에 대하여] 임의의 변수 X에 대하여 E[X] = kθ=α/β가 0보다 크고, E[ln(X)] = θ(k) + ln(θ) = θ(θ)-ln(β)이 고정된다(θ)이다. [1] 또한, 독립적인 랜덤 바리에이트인 경우 는 매개변수를 갖는 감마 분포를 갖는 경우, 다음, 파라미터가 있는 베타 분포 variate이다.

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